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指数增长、拐点斯坦福学霸自制动画用最简单的
时间:2020-04-08 17:05

  大家对指数增长应该都有所耳闻,但是单凭的人们的直觉,又很难意识到这究竟发生了什么。

  上图就是一个典型的指数增长,体现的是COVID-2019中国确诊病例数每天的变化。那么为什么传染病的传染会是典型的指数增长呢?指数增长的本质又是什么?

  YouTube上有着231万订阅的数据可视化神级专栏“3Blue1Brown”最近发布了一个视频,通过对COVID-2019中国确诊病例数据的可视化,为大家讲解了指数增长在这次疫情传播中的体现,从中,我们既能看到指数增长的本质,还能知道,指数增长是怎么结束的。

  指数增长通常意味着数据随着时间的变化,后一个数据等于前一个数据乘以一个系数。体现在这次疫情的数据中,便是后一天的确诊病例数是前一天的1.15-1.25倍。

  病毒的传播就是一个典型指数增长的例子,假设某天的病例数是N(d),平均每天接触的人为E,每个暴露者被感染的概率为p,那么每天新增的病例数量为N(d)*E*p,也就是说,N(d+1)=(1+E*p)*N(d)。这个(1+E*p)就是那个1.15-1.25的常数。

  如果把Y轴以对数为刻度,那么结果会更加直观,在这种情况下,增长情况就可以拟合成一条直线,这条直线的斜率告诉我们,病例数大概每16天翻十倍。

  那么这是一个什么概念呢?举个例子,某一天我们看到韩国有6000+病例,而美国有60例,直观上我们会认为韩国的疫情比美国要严重100倍,但事实上,美国只是比韩国晚了一个月。

  如果单从理论上来说,指数增长似乎会一直持续下去,但是对传染病而言,却不会如此,它肯定会在某个时间变慢,关键是这个时刻会在什么时候来临。

  是像2003年的SARS一样,到了8000多就停止了,还是像1918年的西班牙大流感一样,会感染全部人口的27%?

  这么看来,让N(d)变小的方法方法,就是减小E和p,而这是必然会发生的,首先,因为即使人们不采取任何措施,人群中剩下的未被感染的人数也在逐渐变少,那么N(d)的增长会不可避免的趋向于0,直到所有人都被感染。

  考虑到这个情况,新的曲线就会是这么个情况——一条对数曲线。刚开始的时候与指数曲线相差不大,随着时间的推移,曲线的切线斜率会逐渐变小,直到趋于0,而曲线斜率开始变小时,就是我们所说的拐点。

  大众一直比较关注的“增长因子”,即当天新增病例数与前一天的比值。那么如果第五天的“增长因子”为1.15,那么第五天增长的人数则是4059,而当“增长因子”为1时,这个数字为3530,看起来区别不大,但却标示着拐点已经悄然来临。

  实际上,人们也不是平均分布在世界上,而是生活在社区中,但是如果在社区之间加入一定的人口流动,情况仍然很糟糕,这就是为什么我们需要隔离。

  所幸的是,人类并不一定只能等待大部分人都被感染,我们可以通过减少出行,勤洗手等措施减少E和p,并且千万不要小瞧这些措施的影响,因为指数增长对常数极其敏感。假设这个常数是1.15,那么61天之后,总的感染人数会达到1亿,而将常数减少到1.05,那么61天后被感染的人数只有40万。

  所以我们现在采取的每一个措施——隔离、戴口罩、勤洗手,都在尽全力减少这个常数,正如作者所说,“如果所有人都在担心,那反而没有什么可担心的;而如果所有人都不担心,那才是需要担心的。”

  3blue1brown的作者名叫Grant Sanderson,他介绍自己的这个专栏为“数学与娱乐的结合”,目标是用动画来驱动解释,通过新的视角来让困难的问题变得简单。

  显然,拥有230万订阅者的3blue1brown不可能光靠Grant Sanderson一个人来打理了,从每个动画的最后我们也可以看到,有专业的可视化和动画团队在支持这个工作。

  从2015年3月注册以来,3blue1brown就致力于用各种丰富的可视化内容来向大众普及冰冷的科学知识,内容也是包罗万象,从数学、物理到计算机,一些专题甚至出了连载。

  Grant Sanderson2015年毕业于斯坦福大学,学的专业就是数学,但是他也坦言,在斯坦福学习数学的道路上,他一直受计算机这个“情人”的诱惑,虽然最终还是坚持学完了数学,但还是对牺牲了“情人”计算机痛惜不已。